الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

خطوة 1

اطرح $\frac{9}{2 t + 1}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{5}{t}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{9}{2 t + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $t (2 t + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{5}{t}$ في $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{9}{2 t + 1}$ في $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(2 t + 1) t$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 2.5.3

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 2.5.4

اطرح $9 t$ من $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$t = - 5$

خطوة 5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 t = - 1$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $2 t = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $2 t = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{1}{2}$

خطوة 7

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

خطوة 8

وحّد الحلول.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

خطوة 9

أوجِد نطاق $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$t (2 t + 1) = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

خطوة 9.2.2

عيّن قيمة $t$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$t = 0$

خطوة 9.2.3

عيّن قيمة العبارة $2 t + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

عيّن قيمة $2 t + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 t + 1 = 0$

خطوة 9.2.3.2

أوجِد قيمة $t$ في $2 t + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 t = - 1$

خطوة 9.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $2 t = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 t = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.3.2.2.2.1.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

خطوة 9.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{1}{2}$

خطوة 9.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $t (2 t + 1) = 0$ صحيحة.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $t$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $t < - 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $t < - 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$t = - 8$

خطوة 11.1.2

استبدِل $t$ بـ $- 8$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $- 0.625$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.6$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$t = - 3$

خطوة 11.2.2

استبدِل $t$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 1.\overline{6}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 1.8$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{1}{2} < t < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{1}{2} < t < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$t = - 0.25$

خطوة 11.3.2

استبدِل $t$ بـ $- 0.25$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $18$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.4

اختبر قيمة في الفترة $t > 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اختر قيمة من الفترة $t > 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$t = 2$

خطوة 11.4.2

استبدِل $t$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

خطوة 11.4.3

الطرف الأيسر $2.5$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $1.8$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$t < - 5$ صحيحة

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ خطأ

$- \frac{1}{2} < t < 0$ صحيحة

$t > 0$ خطأ

$t < - 5$ صحيحة

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ خطأ

$- \frac{1}{2} < t < 0$ صحيحة

$t > 0$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$t < - 5$ أو $- \frac{1}{2} < t < 0$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

خطوة 14